Часть 6

Степень запутанности двухсоставных чистых состояний можно количественно охарактеризовать с помощью некоторой меры запутанности, которая выражается в данном случае с помощью энтропии соответствующей части системы или через частичный след матрицы плотности. Другими словами, единица меры запутанности определяется основанием логарифма, входящего в формулу энтропии по аналогии с единицами измерения информации. Для двоичного логарифма употребляется понятие «один бит запутанности» или e-bit (entanglement bit).
Важно, чтобы определения запутанных состояний и меры запутанности носили непротиворечивый характер. Для этого необходимо выполнение «ряда условий, отвечающих смыслу запутанных состояний как нелокального квантового ресурса» (1, с.628–629). Так определения и свойства должны сохраняться при выполнении локальных квантовых операций и обмена классической информацией – LQCC-операции (local quantum [operations] and classical communication).
Суть LQCC-операций состоит в следующем. Пусть два пространственно удаленных друг от друга человека, скажем, Алиса и Боб, обладают разными частями запутанного состояния двухсоставной системы. Ими могут быть, например, спины ЭПР-пары. Алиса и Боб не имеют возможно¬сти осуществлять прямое когерентное взаимодействие между частями составной квантовой системы или пере¬давать их друг другу. Общаться они могут только с помощью классических средств, например, передать информацию по почте или, наконец, позвонить друг другу по телефону.
Алиса и Боб могут производить над своими частями составной квантовой системы любые квантовые операции, т.е. унитарные или супероператорные преоб¬разования (4), а также квантовые измерения (в том числе неортогональные) (Busch P., Lahti P.J., Mittelstaedt P. The quantum theory of measurement. – B., 1996). Полученной информацией они могут обмениваться только с помощью классических средств коммуникации. «Математическая структура опре¬деленных таким образом LQCC-операций очень сложна, но с практической точки зрения она представляется наиболее оправданной» (1, с.629).
В результате проведения LQCC-операций мера запу¬танности заданного состояния в среднем может лишь уменьшаться. Это означает, что запутанность нельзя создавать только с помощью локальных средств. Это «как раз и определяет смысл запутанных состояний как нелокального кванто¬вого ресурса» (1, с.629).
Запутанность чистых состояний можно «разбавлять» или «концентри¬ровать». Под этим подразумевается следующее. Предположим, что между Алисой и Бобом распределено N копий двухсоставных квантовых систем (например, пар спинов ½), каждая из которых находится в запутанном состоя¬нии, так что суммарная запутанность становится равной N-кратной мере запутанности. Тогда существуют такие LQCC-операции, которые позволяют из исходных двухсоставных систем получить М двухсоставных систем, каждая из которых будет обладать волновой функцией ’, причем в пре¬деле N   суммарная запутанность новых М-систем останется прежней.
«Таким образом, в асимптотике бесконечного числа исходных объектов запутанность можно асимптотиче¬ски обратимо преобразовывать … в более или менее запутанные состояния. В частности, исходные физические объекты, находящиеся в не максимально запутанных состояниях, можно с сохранением общего количества запутанности преобразовывать в меньшее число объектов, которые находятся в макси-мально запутанных состояниях и, таким образом, наибо¬лее полезны для практических приложений» (1, с.629).
Многосоставные запутанные квантовые системы. Изучение свойств многосоставных квантовых систем нетривиально и нередко неоднозначно. Наиболее широкую известность получили исследования ГХЦ-состояния – запутанного состояния трехсоставной квантовой системы, получившего название по первым буквам фамилий трех авторов впервые рассмотревших его (Гринбергер, Хорн, Цайлингер). В общем случае роль запутанных состояний многосоставных квантовых систем играют состояния типа «шрёдингеровского кота». Примером подобного состояния может служить состояние
cat  (2)
Ввиду большого количества N входящих в них частиц состояния 000…0> и 111…1> должны описывать состояния макроскопических объектов. «Соответственно, состояние (2) описывает когерентную суперпозицию макроскопически различ¬ных состояний больших объектов подобно суперпози¬ции живого и мертвого состояний кота» (1, с.629). В последнее время появились возможности экспериментальной работы с аналогичными состояниями, состоящими, правда, из сравнительно небольшого числа частиц.
Важным свойством многосоставных квантовых систем является невозможность сведения n-частичной запутанности к запутанности более низкого порядка. Это означает, что не существует обратимого преобразования друг в друга, например двух ГХЦ-триплетов в три ЭПР-пары с помощью LQCC-операций даже в асимптотике большого числа их копий. Состояния типа шрёдингеровского кота как раз и являются примером таких неприводимых многочастичных запутанных состояний.
Смешанные запутанные состояния. В отличие от чистых состояний, в которых любые корреляции являются квантовыми, смешанные состоя¬ния, описываемые матрицами плотности, в определен¬ной степени являются аналогами классических статисти¬ческих ансамблей, так как они могут включать в себя и классические корреляции. Для разделения корреляций на классические и квантовые вводят представление о сепарабельных (т.е. классически-коррелированных) квантовых состояниях. Их можно записать в виде суммы тензорных произведений матриц плотности составных частей рассматриваемой квантовой системы. Каждое слагаемое подобной суммы описывает статистически независимые (мультиплика¬тивные) состояния подсистем А, В,... сложной кванто¬вой системы, а само суммирование (некогерентное смешивание) определяет наличие классических корреляцией.
Такие матрицы плотности «можно приготовить локаль¬но, т.е. используя локальные квантовые операции и обмен классической информацией, не обладая изна-чально никакими запутанными состояниями. Именно в этом смысле они не являются квантово-коррелированными» (1, с.630). Несепарабельными или смешанными запутанными состояниями называются состояния, которые нельзя представить в виде такой суммы.
Для смешанных запутанных состояний двухсостав¬ных систем можно определить несколько различных мер запутанности. Каждая из них полезна в том или ином случае, но свести их, как в случае чистых состояний, к какой-нибудь одной мере, не удается. С практической точки зрения важными являются запутанность формирования (entanglement of formation) и дистиллируе¬мая запутанность (distillable entanglement). Запутанность формирования можно определить как мини¬мальную усредненную запутанность ансамблей чистых состояний, реализующих данное смешанное состояние. Другими словами, запутанность формирования есть минимальное количество «чистой» запутанности, необ¬ходимое для того, чтобы создать данное состояние с помощью локальных квантовых операций и обмена классической информацией. Состояния с нулевой запутанностью формирования сепарабельны и наоборот.
Дистиллируемая запутанность определяется как количество чистой запутанности, кото¬рое можно извлечь (дистиллировать) из заданного смешанного состояния с помощью произ¬вольных LQCC-операций в асимптотике большого числа копий исходного состояния. Процесс выделения чистой запутанности из смешанной называется «очищением запутанности» (entanglement purification). Так как определение дистиллируемой запутанно¬сти опирается на некоторый гипотетический оптимальный способ очищения запутанности, то математической фор¬мулы для этой меры пока не существует.
Вышеприведенные меры запутанности ориенти¬руются на практические методы создания и использова¬ния смешанных квантово-коррелированных состояний. Совсем другой подход используется, когда сначала постулируются некоторые аксиоматические свойства, которым должна удовлетворять любая мера запутанно¬сти, а уже потом подбирается подходящая функция. Аналогично мере запутанности чистых состояний любая мера запутанности смешанных состояний должна удовлетворять условиям, определяющим смысл запутанности как нелокального ресурса (Bennett C.H. et al. // Phys. rev. – 1996. – Vol.53A. – P.2046): 1) мера запутанности равна нулю для сепарабельных состояний и мера запутанности больше или равна нулю в остальных случаях; 2) все меры запутанности инвариантны относительно проведения локальных унитарных операций; 3) никакая мера запутанности не может в среднем увеличиваться в результате проведения любых физиче¬ски реализуемых (т.е. супероператорных) локальных операций и, следовательно, произвольных LQCC-операций.
Уже эти условия накладывают ограниче¬ния на возможные меры запутанности. Если же к ним присовокупить другие нетривиальные требования, то можно получить новые интересные теоретические ре¬зультаты. Так, с добавлением условий асимптотической аддитивности и непрерывности дистиллируемой запу¬танности было показано, что все «хорошие» меры запутанности должны быть ограничены сверху запутан¬ностью формирования, а снизу – дистиллируемой запутанностью.
Помимо поиска адекватных мер запу¬танности смешанных состояний идет также поиск критериев несепарабельности (запутанность формирования больше нуля) и дистиллируемости (дистиллируемая запутанность больше нуля) сме¬шанных состояний р. Особый интерес предста¬вляет структура состояний со связанной запутанностью (bound entangled states), для которых запутанность формирования больше нуля, но дистиллируемая запутанность равна нулю (58). К настоящему моменту в этой области получено довольно много интересных результатов (Lewenstein M. et al. // J. modern opthics. – 2000. – Vol.47. – P.2841), но окончательных ответов пока нет.
Таким образом, проблема адекватных мер и крите¬риев запутанности для смешанных состояний остается пока неразрешенной. Кроме того, положение осложняется в случае попыток обобщения упомянутых выше систем для изучения, например, ЗС систем с непрерывным спектром или ЗС многосо¬ставных систем (34). Другим нетривиальным обобщением является недавно возникшая проблема опи¬сания нелокальных свойств (запутанности) квантовых операций (30).

1.3.5. Некоторые направления исследований «запутанных» состояний

Идеология запутанных состояний применяется для исследования физических основ КМ, метрологических исследований, в физике квантовой информации. Обычно источниками ЗС являются процессы каскадного распада атомных возбуждений и спонтанного параметрического рассеяния света в нелинейных кристаллах. В этих процессах образуются фотонные пары с ЗС поляризации, которыми управляют зеркалами и поляризаторами. К сожалению, подобные источники обладают определенными недостатками, в частности, распространение фотонных пар со скоростью света затрудняет их локализацию и сохранение для последующего применения. Поэтому в последнее время активно разрабатываются так называемые детерминистические методы создания ЗС массивных частиц – атомов и ионов, захваченных в специальных ловушках. Под детерминистическими методами понимается возможность сформировать нужное ЗС заданных частиц в любой момент времени.
Как подчеркивают авторы (1, с.631), первым серьезным приложением ЗС стала экспериментальная проверка неравенств Белла. После выхода в свет статьи Эйнштейна, Подольского и Розена (20) и дискуссии Эйнштейна с Бором стали очевидны расхождения между классической и квантовой механиками относительно понятия физической реальности и локальности физических взаимодействий. Лишь спустя 30 лет Беллу удалось сформулировать это отличие математически в виде неравенств, которые позволяют проверить условие слабой нелокальности в КМ. Это условие говорит о том, что два эксперимента, выполненные даже на пространственно-подобном расстоянии, могут оказывать физическое влияние друг на друга. Выполненные многочисленные эксперименты подтвердили наличие подобного свойства. В частности, были экспериментально зарегистрированы корреляции, соответствующие ГХЦ-состояниям (Bouwmeester D. et al. // Phys. rev. letters. – 1999. – Vol.82. – P.1345).
Следует, однако, отметить, что в реальных экспериментах (особенно с атомами) обычно удается создать только смешанные ЗС, которые лишь приближенно отражают свойства чистых состояний, поэтому неравенства Белла трудно использовать для тестирования нелокальных корреляций. Более перспективными оказываются экспериментальные измерения средних значений специальных операторов, называемых “свидетелями запутанности” (entanglement witnesses). «Можно показать, что для любого несепарабельного состояния существует соответствующий свидетель запу¬танности, детектирующий его…, а также что любому свидетелю запутанности соответствует некоторое нера¬венство Белла, которое можно проверить экспериментально, исключая тем самым определенный класс теорий локальных скрытых переменных» (1, с.632).
С понятием ЗС самым тесным образом связано понятие декогеренции. Декогеренцией называют процесс потери когерентности квантовых суперпозиций при взаимодействии квантовой системы с окружающей средой. Декогеренция системы ведет к появлению у нее классических черт, в соответствии с информацией, записанной в окружении. Другими словами, декогеренция – это запутывание системы при ее взаимодействии с окружением. В результате такого запутывания исходная система из первоначального запутанного состояния переходит в незапутанное смешанное состояние. Если не контролируются все степени свободы, декогеренция приводит к неотличимости предсказаний квантовой теории для макроскопических состояний от предсказаний классической теории. Только при рассмотрении открытых систем декогеренция практически полностью объясняет процесс взаимодействия с окружением и возникновение смеси, эквивалентной распределению по различным состояниям со своими вероятностями.
В связи с этим теории декогеренции удалось получить результат, который имеет большое концептуальное значение. Дело в том, что до недавнего времени считался справедливым так называемый постулат редукции волновой функции. Именно им объяснялся однозначный вид окружающей реальности, и предполагалось, что все остальные альтернативные члены суперпозиции коллапсируют, исчезают. Говоря простым языком, весь вопрос сводился к тому, существует ли одновременно множество «картин» реальности и мы, в принципе, способны переключаться между ними, или все они «схлопываются» в одну – ту, которую мы видим, а другие увидеть никогда не сможем. Теория декогеренции показывает, что редукции волновой функции не происходит, а также объясняет, почему постулат редукции приводит к правильным предсказаниям, тем самым не устраняя его, а меняя его статус (5).
Именно благодаря эффекту декогеренции мы не встречаем в природе суперпозиции мертвых и живых котов. Однако эксперименты по созданию небольших объектов – «шрёдингеровских котят», состоящих из нескольких фотонов или атомов вполне возможны (Sackett C.A. et al. // Nature. – 2000. – Vol. 404. P.256). Теория предсказывает, что время жизни «шрёдингеровских котят» убывает экспоненциально с их размером, а экспоненциальная зависимость приводит к тому, что время жизни когерентных суперпозиций макроскопически различных состояний объектов, сораз-мерных с реальными котами, должно быть чрезвычайно мало. Кроме того, распространена точка зрения о том, что запутанность проявляется только в системах, состоящих из небольшого числа квантовых частиц. В одном недавно опубликованном препринте сообщается о том, что авторам удалось экспериментально реализовать ЗС двух объектов («газовых образцов» атомов цезия), каждый из которых содержал примерно 1012 атомов. Этого удалось достигнуть воздействием на образцы светового импульса, который осуществлял нелокальное белловское измерение коллективных спинов образцов. При этом спиновое ЗС существовало в течение 0,5 миллисекунды, что позволяет опровергнуть утверждения о почти мгновенном распаде ЗС макроскопических объектов (35).
Вообще говоря, существуют надежды на то, что декогеренция может являться основным процессом, определяющим степень классичности или квантованности поведения данного физического объекта, а, кроме того, и решить проблему квантового измерения в целом.
Б.Резник предпринимает попытку связать природу ЗС с вакуумным состоянием (55). Он исследует запутанность вакуума релятивистского поля при условии возможности для пары причинно разделенных пробных частиц взаимодействовать с полем. Он обнаружил, что даже когда пробные частицы изначально не запутаны, они могут достичь конечного запутанного состояния. Это означает, что запутанность продолжает сохраняться между изолированными областями в вакууме. Однако пробная запутанность, в отличие от корреляций, исчезают из областей, которые становятся сепарабельными.
Исследования показали, что гильбертово пространство двух подсистем содержит подкласс запутанных состояний, которые проявляют уникальные квантовомеханические свойства. Еще Беллом было показано, что корреляции между наблюдаемыми, измеренными раздельно для каждой подсистемы, могут быть «сильнее», чем корреляции, предсказанные любыми локальными классическими моделями.
Имея каузальную структуру и встроенную локальность, релятивистская теория поля, как считает автор, представляет собой естественную основу для исследования запутанности. Известно, что наблюдаемые поля в пространственноподобных точках в вакууме коррелированны. Для безмассовых полей в (3+1)-мерии эти корреляции распадаются на расстоянии L между двумя точками как 1/L2. Сами эти корреляции, однако, не означают существования квантовой запутанности, потому что они могут, в принципе, возникать как классические корреляции. Однако многочисленные исследования дают основания для утверждения о том, что вакуум, действительно, запутан. В риндлеровском квантовании происходит запутывание (span) гильбертова пространства свободных полей с помощью прямого произведения состояний числа риндлеровских частиц |n,1 и n,2 внутри двух дополнительных пространственноподобно интервалов x<-t и x>t, соответственно. Оказалось, что состояние вакуума Минковского может быть выражено как запутанное состояние подобное ЭПР-состоянию nnn,1n,2 для каждой моды. В рамках алгебраической КТ поля было доказано, что наблюдаемые локального поля запутаны в произвольных двух пространственноподобно разделенных областях.
Б.Резник анализирует мысленный эксперимент с участием пробной запутанности, которая не чувствительна для малых масштабов (cutoff). Она представляет собой пару пробных объектов – точечно-подобных двухуровневых систем, которые связаны с полем в течение короткого промежутка времени. Процесс имеет место в двух причинно не связанных областях. Поскольку пробные объекты были взяты изначально незапутанными, и поскольку запутанность не может быть продуцирована локально, присутствие (наличие) запутанности в конечном состоянии пробных объектов рассматривается в качестве меры для вакуумной запутанности.
Резник исследует соотношение между энтропией, корреляциями и запутанностью. Состояние «запутано», если нет локальных унитарных преобразований, которые могут преобразовать состояние в прямое синглетное произведение состояний. Другими словами, ЗС существует, если и только если существуют корреляции между локальными наблюдаемыми.
Существование корреляций означает, что некоторая информация сохраняется в комбинированном состоянии, но ее невозможно отследить, исследуя одну часть системы. Подсистема тогда ведет себя как смесь. Энтропия фон Ньюмана (или Шеннона) показывает эту потерю информации при исследовании отдельной подсистемы. Для чистых состояний равенство энтропий подсистем имеет место, если и только если состояние «запутано». Поэтому энтропия может быть рассмотрена в качестве количественной меры запутанности. Сюрприз, возможно, в том, что для ансамбля тождественных состояний – это, фактически, уникальная мера запутанности. Резник приходит к выводу о том, что для случая чистых состояний энтропия, корреляции и запутанность являются эквивалентным описанием одного и того же физического явления.
Ситуация разительно отличается для случая смешанного состояния. Во-первых, как можно определить запутанность смешанного состояния? Автор предлагает определять запутанность условием, что оператор плотности не запутан. Оператор плотности не запутан, если мы может найти базис, из которого можно вывести сепарабельную форму для суммы локальных операторов плотности. Полученный оператор плотности проявляет нетривиальные корреляционные свойства, но, тем не менее, он не запутан и описывает классические корреляции. Подобно этому функция энтропии не исчезает для незапутанного смешанного оператора плотности.
Б.Резник приходит к выводу, что для смеси энтропия и корреляции не эквивалентны запутанности. Поэтому корреляции не обязательно означают запутанность, а энтропия фон Неймана не является подходящей мерой запутанности.
Расчеты автора позволили ему сделать вывод о том, что в эффекте Унру запутанность сохраняется даже тогда, когда области разделены конечным расстоянием. Тем не менее, когда разделение становится слишком большим, выделенная запутанность уменьшается до нуля, тогда как классический тип корреляций нет.
Автор подчеркивает, что энтропия не является больше хорошей мерой запутанности, если состояние не является чистым, когда, например, две области разделены. Черная дыра естественным образом делит пространство на внутреннюю и внешнюю дополнительные области с комбинированным чистым состоянием. В этом случае энтропия фон Ньюмана совпадает с мерой запутанности. Как мы можем ренормализовать эту энтропию запутанности? Наивное обрезание не удовлетворительно, потому что при этом будут также обрезаться (truncate) ультравысокие моды, которые необходимы в хокинговском выводе излучения черной дыры. В то же время, если мы разделим внутреннюю и внешнюю области (эффективно выполняемое путем введения физических пробных частиц), то энтропия становится действительно конечной, но больше не будет мерой запутанности, а корреляции станут классическими. Для атомоподобных систем, вакуумная запутанность становится физически операциональной величиной. Действуя локально на ансамбль таких генерированных пар, можно «очистить» величину запутанности и, редуцируя число пар, постепенно достигнуть совершенно чистой ЭПР-бомовской пары.